October 15 Magnitude Estimate――日々の算数の勉強 (4) Daily Math Practice (4)

October 15, 2008 (Wednesday)

   以下は数学と英語と両方好きでかつヒマという方以外は読まないほうがよいような内容です。

   その3は執筆中（笑）。

   　magnitude estimate

     estimate は概算、推定(値)、見積もりである。それは概ね推定しなくてもわかる。An estimate is an answer that should be close to an exact answer.   しかーし――いきなり　magnitude estimate で以下を出せ、とか言われてもわかりませんがな。

　　【問題―◆For each problem, make a magnitude estimate. ◆Circle the appropriate box.  Do not solve the problem.  ◆Then choose 3 problems to solve.  Show your work on the grid.  （それぞれの問いに magnitude estimate を行なえ。適切なボックスを丸で囲め。問題は解いてはいけない。以下略）とあって、1.   8 * 19  2.  155 *6   3. 37 *58  4.  5 * 4.2  5.  9.3 * 2.8 と5問並んでいてそれぞれの下に　10s, 100s, 1,000s, 10,000s のボックスが書かれています（*　は× です。印刷やWEBでは* が主流みたい）。――実物を見たいという奇特な方がいらっしゃるなら、くそ重いpdf.ですが、以下がWEBにあります―Unit2_000.pdf のStudy Link 2-8】

　　しょうがなく教科書を勉強すると概算の方法としていくつかあがっていた。

a) leading-digit estimation: A way to estimate in which the left-most, nonzero digit in a number is not changed, but all other digits are replaced by zeros.  For example, to estimate 432 + 76, use the leading-digit estimates 400 and 70: 400 + 70 = 470.  訳すのがめんどくさいくらいの英語なのでお訳御免ですが、これは切り捨てですね。それも第何位をとか選択肢はなく、最初の桁だけ残してすっぱり落とす。

b) rounding: To round is to adjust a number to make it easier to work with or to make it better reflect the level of precision of the data.  Often numbers are rounded to the nearest mulitiple of 10, 100, 1000, and so on.  For example, 12964 rounded to the nearest thousand is 13,000.  これは日本語で俗にいう（ほんとに言うのだろうか）「まるめる」という動詞ですな。やっていることは四捨五入のようですが。そしてこの場合はどのクライでround するかが指定されることになります。以下に例をあげます。なんでこんなまだるっこしいステップを踏まねばならんのでしょう。3番目の例が等距離で中間の5ですけど、五入ですね（赤字部分に該当）。

    b1. Round 4,538 to the nearest hundred →　4,500 [Step 1: Find the digit in the place you are rounding to → 4,538.  Step2: Rewrite the number, replacing all digits to the right of this digit with zeros. (This is the lower number) → 4,500.  Step3: Add 1 to the digit in the place you are rounding to.  If the sum is 10, write 0 and add 1 to the digit to its left.  (This is the higher number) → 4,600.  Step 4:  Is the number you are rounding closer to the lower number or to the higher number? →　lower number.  Step 5: Round to the closer of the two numbers.  If it is halfway between the lower and the higher number, round to the higher number. → 4,500]

    b2.  Round 3.573 to the nearest tenth [tenth は10分の1 だから小数第1位] →  3.600 = 3.6  [Step 1: 3.573.  Step 2: 3.500.  Step 3: 3.600.  Step 4: higher number.  Step 5: 3.600 = 3.6]

    b3.  Round 5,295 to the nearest ten → 5,300 [Step 1: 5,295.  Step 2: 5,290.  Step 3: 5,300.  Step 4: halfway between. Step 5: 5,300]

c) interval estimate: An estimate that places an unknown quantity in a range.  For example, an interval estimate of a person's weight might be "between 100 and 110 pounds."  これはただ推定しているだけじゃないのかと思うのですが、推定範囲を限定するということに意味があるのでしょうね。なんか論理的にはカテゴリーが違う気がする（気のせいかも）。これは英和辞典にも珍しく載っており、《統計》区間推定　⇒interval estimation による推定値、とか書いてあります。interval estimation を見ると同じく「区間推定」と書いてあるのですけど（笑）。ま、estimation という行為の結果がestimate という関係ですか。

d)  magnitude estimate: これが問題の推定です。本文での説明――"One kind of rough estimate is called a magnitude estimate.  When making a magnitude estimate, ask yourself: 'Is the answer in the tens?  In the hundreds? In the thousands?' and so on.  You can use magnitude estimate to check answer or to judge whether information you read or hear makes sense" (Everyday Mathematics 250). 答えが何十か何百か何千になるかを考えて、実際の答えがあっているか、あるいは目の前の情報がまちがってないかを判断するのに使うと。グロサリーでの説明―― A rough estimate.  A magnitude estimate tells whether an answer should be in the tens, hundreds, thousands, ten-thousands, and so on.  グロサリーでは1万まで増えてるだけやん。わからんのは、どのようにやるか、です。

　　次のouronlineschools.org のページは、説明は同じだけれど、具体的なプロセスの記述がありました。――

• A Magnitude Estimate is a very rough estimate that answers the question:

 Is the solution [solution = answer] in 1s? 10s? 1,000s ? 10,000s?

• How to make a magnitude estimate:

1. Round the numbers to the nearest 1, or 10, or 100, etc.

2. Make the calculation.

3. Determine if the solution is in 1s, 10s, 100, 1,000s, etc.

• For example:

Make a magnitude estimate for 356 * 17:

1. Round the 356 to the nearest 100:  400.

2. Round the 17 to the nearest 10:  20.

3. Multiply the estimates:  400 * 20 = 8,000

4. The solution of 356 * 17 is in the 1,000s.

5. To check, the actual solution is: 6,052

• Another example:

Make a magnitude estimate for 24.8 * .7:

1. Round the 24.8 to the nearest 10: 25

2. Round the .7 to the nearest 1: 1

3. Multiply the estimates: 25 * 1 = 25

4. The solution of 24.8 * .7 is in the 10s.

5. To check, the actual solution is: 17.36

 

 　　例1では、356 × 17 を、356をnearest 100の400に、17 をnearest 10 の20にして、400 × 20 =8,000、答えは数千だなーとestimateするわけです。例2 では24.8 × 0.7。それが25 × 1 になって答えは数十だなあと。そして上の "How To" のところにあるように "round" してますね。

　　しかし、わけがわからんのは、なるほど小数だから24.8 を25 に、0.7 を1にするのは有意味に見えるけれど、じゃあ整数だったらどうなるねん、という疑問がフツフツと沸いてくるわけです。たとえば17.3 × 0.7 だったら17 ×　1にするのか、それとも20 ｘ 1 にするのか?  "Round the numbers to the nearest 1, or 10, or 100, etc."というのはどの位を四捨五入するのか指定がないわけです。あるいは 24.8 × 27.8 だったら25 ×　28にするのでしょうか?  25 × 30 にするのでしょうか? 20 × 30 にするのでしょうか?  宿題でいうと1番の8 ×　19 は8 × 20 でよいのか、それとも10 × 20なのか? 2番の 155 × 6 は、160 × 6 なのか、 200 ×　6 なのか、200 × 10 なのか?　ネライがアバウトに桁を知るということなのだからなるたけ簡単な計算がいいはずですが、160 × 6 以外は 1000s になってしまうのだけれど・・・・・・。

　　で、さらにあれこれ調べ、教科書もさらに読んだのですが、どうやらmultitude estimate というのは、estimation について総括的に学ぶ前から、計算に先立つものとして推奨されているものだということがわかりました。

　　さらにいくつか例を並べます。――

(1) 15.2 * 3.6 = ?  →　Round 15.2 to 20 and 3.6 to 4.  Since 20 * 4 = 80, the product will be in the tens.  (In the tens means between 10 and 100.)

(2) 3.27*0.8 = ?  → Round 3.27 to 3 and 0.8 to 1.  Since 3 * 1 = 3, the product will be in the ones.  (In the ones means between 1 and 10.)

(3) 34.5 * 2.05 = ? →　Make a magnitude estimate.  34.5 * 2.05 ≒ 35 * 2 =70.  The product will be in the tens.　〔≒は丸い二重波線が使われています〕

(4) 73.4 * 10.5 = ? →　Make a magnitude estimate.  "A good magnitude estimate is 73.4 * 10.5 ≒73 * 10 = 730.  The product, 770.70, is close to the estimate of 730."

(5) 97.24 / 26 = ? → Make a magnitude estimate.  Since 26 is close to 25 and 97.24 is close to 100, the answer is 97.24 / 26 will be close to the answer to 100 / 25.  Since 100 / 25 = 4, the answer to 97.24 / 26 should be in the ones.

(4)　の例では"good" magnitude estimate として質的な差がmagnitude estimates にあることが示唆されています。つまりアバウトにふつうに考えれば70 × 10 で700でしょう。そしてそれはハズレてはいないし、元来の目的とされるどのクライに位置するか、何桁くらいになるか、というのではオッケーなはずなのに。そして、(5) は割り算の例ですけれど、26.2 とか25.5 とか小数以下があるわけではないのに26を30ではなく25に "round" し、magnitude estimate をしている。これはルール破りじゃないんすか?　　（あ、いま入ったクラスメートからの情報によると、なんか2.  155 * 6　の　6は10にするというふうに教室では言われたという・・・・・・そのときに155はそのまま残すというのなら合理性はありますけど。）

   しかし、どうやらルールがないのがmagnitude estimate なのかもしれない、と思い到りました。計算ラクならいいんじゃないの、みたいな。でもこの時点（実際の計算前）で頭使いすぎるるのはよくないけど。まあ、確かに本来適当にこんなもんだろうと目安がつけばいいのだろうから、ラクが一番だと思うのですが、ラクにもいろいろあるのが数の結びつきの世界であり、つい頭を使ってしまうのが人間の欲望というものであり。あと、次のような注も見つかりました。――

Note: Sometimes a magnitude estimate is one the "borderline" and you need be more careful.  For example, a magnitude estimate for 2,890 / 3.4 is 3,000 / 3 = 1,000.  This answer is "in the thousands."  But the exact answer may be "in the hundreds."  You should place the de[c]imal point so that the answer is close to 1,000.  Since 2,890 / 34 = 85, you should attach one zero, followed by a decimal point: 2,890 / 3.4 = 850.　(p. 42)

   誤植も見つけちゃったw

　　どうも日々のマスは、日常生活で使われる算数や幾何という姿勢が強く、estimation についてもそういうところから力を入れているような感じもします。あるいは統計を読むリタラシーみたいな視点。たとえば、つぎのような論文(計算機を使うのではなくて頭でestimate する技を教えるべしという)が20年も前に書かれていたりして――

James A. Levin, "Estimation techniques for arithmetic: Everyday math and mathematics instruction" Educational Studies in Mathematics  12.4 (1981): 421-34.

Abstract  Recent advances in the way that adults perform computation in our society require reconsideration of the assumptions underlying current elementary mathematics instruction. The widespread use of calculators and computers for situations requiring precise calculation removes much of the motivation for teaching the current addition, subtraction, multiplication, and division algorithms. Yet precisely this use of computing technology now puts a premium on the exercise of estimation techniques for verifying the reasonableness of computations. These techniques, especially those that can be used mentally (without the use of any external tools), have been used informally for years, but never formalized for instruction. This paper discusses a range of estimation techniques, and presents in detail a series of mental estimation procedures based on the concepts of measurement and real numbers rather than on counting and integers. A set of techniques for teaching these procedures is described. These estimation techniques are evaluated against the multiple functions that elementary mathematics instruction needs to serve.

　　それにしても、もっとはっきり子供にも大人にもわかるように説明してもらいたいもんだわさ。ぷんぷん。

 

 

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